Gröbnerbasis

Ich schaue mir regelmässig die Serie NUMB3RS an. Es handelt sich um einen FBI-Mitarbeiter Don Eppes und seinem Bruder Charlie, der ein Mathematik Genie ist und dieses Wissen an einer Uni weitergibt. Die beiden Brüder versuchen zusammen Krimalfälle mit Hilfe angewandter Mathematik wie z.B. der Numerik, Kombinatorik aufzuklären. An der HSR werden/wurden in regelmässigen Abständen Serien gezeigt und von einem Mathematik Dozenten fachlich ergänzt, was stets sehr spannend ist/war (http://www.hsr.ch/Numb3rs-HSR.3211.0.html).

In der Serie 4 Trust Metric (2007) versuchte so Charlie Eppes mittels der Gröbnerbasis eine Freundschaft zu beschreiben. Wikipedia beschreibt die Gröbnerbasis wie folgt:

[WIKIPEDIA]
Eine Gröbnerbasis ist eine endliche Idealbasis zu einem Ideal I im Polynomring über dem  Körper K, die besonders gut dafür geeignet ist, zu entscheiden, ob ein gegebenes Polynom zum Ideal gehört oder nicht.

Die Gröbnerbasis wird nicht nur zur Beschreibung von Freundschaften verwendet, sondern auch in der Astrofotografie über grosse Entfernungen benutzt. So entstehen z.B. die Bilder vom Hubble, da man auf fehlende Informationen schliessen kann ohne dabei die Daten zu haben. Dabei kommt der Algorithmus von Buchberger zum Zuge, welcher eben eine Idealbasis in eine endliche Gröbnerbasis transformiert. Implementierungen dieses Algorithmus sind in vielen Computer-Algebra-Systemen vorhanden (z.B. in Mathematica, Maple und REDUCE). Kanonische Simplifikation mit Gröbnerbasen wird in der Praxis benutzt, um idealtheoretische Probleme in Polynomringen zu lösen. Die Anwendungen werden für das Lösen von Polynomgleichungen, für geometrische Beweise oder auch in der Codierungstheorie verwendet. Bei der Codierungstheorie vor allem für die Dekodierung zyklischer Codes. Dort besteht ja die Idee eine Generatormatrix durch Generatorpolynome zu beschreiben (Informationscodierung Modul an der HSR). siehe auch Gröbner Dekodieren